Le projet parallèle d’un étudiant diplômé prouve une conjecture de nombre premier

que les atomes de l’arithmétique, les nombres premiers ont toujours occupé une place particulière sur la droite numérique. Maintenant, Jared Duker Lichtman, un étudiant diplômé de 26 ans à l’Université d’Oxford, a résolu une conjecture bien connue, établissant une autre facette de ce qui rend les nombres premiers spéciaux et, dans un certain sens, même optimaux. “Cela vous donne un contexte plus large pour voir en quoi les nombres premiers sont uniques et en quoi ils se rapportent à l’univers plus large des ensembles de nombres”, a-t-il déclaré.

La conjecture traite des ensembles primitifs – des séquences dans lesquelles aucun nombre n’en divise un autre. Étant donné que chaque nombre premier ne peut être divisé que par 1 et lui-même, l’ensemble de tous les nombres premiers est un exemple d’ensemble primitif. Il en va de même pour l’ensemble de tous les nombres qui ont exactement deux ou trois ou 100 facteurs premiers.

Les ensembles primitifs ont été introduits par le mathématicien Paul Erdős dans les années 1930. À l’époque, ils n’étaient qu’un outil qui lui permettait de prouver plus facilement quelque chose sur une certaine classe de nombres (appelés nombres parfaits) ayant des racines dans la Grèce antique. Mais ils sont rapidement devenus des objets d’intérêt à part entière – ceux auxquels Erdős reviendrait encore et encore tout au long de sa carrière.

C’est parce que, bien que leur définition soit assez simple, les ensembles primitifs se sont avérés être des bêtes étranges. Cette étrangeté pourrait être capturée en demandant simplement quelle taille peut atteindre un ensemble primitif. Considérez l’ensemble de tous les nombres entiers jusqu’à 1 000. Tous les nombres de 501 à 1 000 – la moitié de l’ensemble – forment un ensemble primitif, car aucun nombre n’est divisible par un autre. De cette façon, les ensembles primitifs pourraient comprendre un gros morceau de la droite numérique. Mais d’autres ensembles primitifs, comme la séquence de tous les nombres premiers, sont incroyablement clairsemés. “Cela vous indique que les ensembles primitifs sont vraiment une classe très large sur laquelle il est difficile de mettre la main directement”, a déclaré Lichtman.

Pour saisir les propriétés intéressantes des ensembles, les mathématiciens étudient diverses notions de taille. Par exemple, plutôt que de compter le nombre de nombres dans un ensemble, ils peuvent faire ce qui suit : Pour chaque nombre n dans l’ensemble, branchez-le dans l’expression 1/(n Journal n), puis additionnez tous les résultats. La taille de l’ensemble {2, 3, 55}, par exemple, devient 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55).

Erdős a découvert que pour tout ensemble primitif, y compris les ensembles infinis, cette somme – la «somme d’Erdős» – est toujours finie. Peu importe à quoi ressemble un ensemble primitif, sa somme d’Erdős sera toujours inférieure ou égale à un certain nombre. Et donc, alors que cette somme “semble, du moins à première vue, complètement étrangère et vague”, a déclaré Lichtman, elle “contrôle en quelque sorte une partie du chaos des ensembles primitifs”, ce qui en fait le bon outil de mesure à utiliser.

Avec ce bâton en main, une prochaine question naturelle à se poser est de savoir quelle pourrait être la somme d’Erdős maximale possible. Erdős a supposé que ce serait celui des nombres premiers, qui donne environ 1,64. À travers cette lentille, les nombres premiers constituent une sorte d’extrême.